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Variabile casuale

In statistica i termini "aleatorio", "casuale", "stocastico" sono aggettivi che si associano agli enti ottenuti come risultati di una prova.

Una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica) è una funzione "misurabile" dallo spazio campionario allo spazio euclideo.

Secondo la definizione di Lindgren (1976): una funzione X definita sui punti dello spazio campionario ω si dice misurabile rispetto al campo di Borel ß se e solo se l'evento {ω| X(ω)<=λ} appartiene a ß per ogni λ.

• Le variabili casuali a una dimensione si dicono semplici.
• Le variabili casuali a più dimensioni si dicono multiple (doppie, triple, k-uple).

Le funzioni che rappresentano le variabile casuali devono avere le seguenti caratteristiche:

• se discrete: Σv.c. = 1 e la funzione v.c. non deve mai assumere valori negativi
• se continua: ∫v.c.(x)dx =1

Variabili casuali che dipendono da un parametro t vengono considerati dei processi stocastici.

Alcune variabili casuali utilizzate in statistica

• variabili casuali discrete
  • variabile casuale Uniforme discreta
  • variabile casuale Bernoulliana, caso particolare della Binomiale
  • variabile casuale Binomiale
  • variabile casuale Binomiale Negativa usata per eventi rari in alternativa alla Poissoniana
  • variabile casuale Poissoniana detta pure legge degli eventi rari
  • variabile casuale Geometrica o di Pascal
  • variabile casuale Ipergeometrica
  • ... e altre
• variabili casuali continue
  • variabile casuale Normale o Gaussiana
  • variabile casuale Gamma o Erlanghiana
  • variabile casuale esponenziale negativa, caso particolare della v.c. Gamma
  • variabile casuale Chi Quadrato χ², caso particolare della v.c. Gamma
  • variabile casuale Beta
  • variabile casuale Rettangolare o Uniforme continua
  • variabile casuale t di Student
  • variabile casuale F di Snedecor
  • variabile casuale di Cauchy, caso particolare della t di Student
  • variabile casuale Logonormale, usata per descrivere la distribuzione dei redditi
  • variabile casuale Paretiana, usata per descrivere la distribuzione dei redditi in presenza di un reddito minimo
  • variabile casuale di Wishart
  • variabile casuale T-quadrato di Hotelling
  • ... e altre

Teoremi

Se:X₁, X₂, ... , X_n sono v.c. Bernoulliane uguali e indipendenti

allora:X = X₁ + X₂ +...+ X_n, è una v.c. Binomiale B(n;p)

Se: X è una variabile casuale Binomiale B(n;p) con n molto grande (orientativamente n>50) e p molto piccolo, tale che n p è, orientativamente, minore di 10 e p(1-p) quasi uguale a p,

allora: la binomiale può essere approssimata con una variabile casuale Poissoniana ove λ = n p.

Se: Se: X è una variabile casuale Binomiale B(n;p) con n molto grande, ma np>10 (e dunque non vale l'approssimazione con la v.c. poissoniana),

allora: la binomiale può essere approssimata con una variabile casuale Normale con valore atteso pari a np e varianza uguale a npq: N( np ; npq).

Se: X e Y sono due variabili casuali indipendenti, distribuite come una v.c. poissoniana con parametro rispettivamente λ_x e λ_y

allora: Z=X+Y è a sua volta una v.c. Poissoniana con parametro λ_z = λ_x+λ_y

Se:X è una variabile casuale Beta con p=q=1

allora: si tratta di una v.c. rettangolare con i parametri a e b

Se:X e Y sono due v.c. Gamma in senso stretto (a=1) con il parametro p uguale ripettivamente a n e m

allora: Z=X/Y è distribuita come una v.c. Beta con i parametri p=n e q=m

Se: X e Y sono due v.c. identiche e indipendenti distribuite come una variabile casuale Esponenziale Negativa con parametro a

allora:Z=X+Y è una v.c. Gamma con parametri a e p=2

La v.c. Esponenziale Negativa viene usata in relazione alla v.c. Poissoniana in quanto:

se: il numero di successi entro un predeterminato intervallo di tempo è distribuito come una Poissoniana (con parametro λ),

allora: l'intervallo di tempo che passa tra due successi è distribuito come una Esponenziale Negativa con a=λ

e viceversa.

Se:X₁, X₂, ..., X_n sono n v.c. χ² tra di loro indipendenti, ciascuna con g_i gradi di libertà,

allora: la v.c. Y = X₁ + X₂ + ... + X_n è a sua volta una v.c. χ² con g gradi di libertà, ove g = g₁ + g₂ + ... + g_n

Se:Z è una v.c. Normale standardizzata N(0,1), e X=Z²

allora: X è una v.c. χ² con 1 grado di libertà.

Considerato un campione di n elementi estratto da una popolazione normale Z(μ;σ²) indicando con S² la distribuzione della varianza campionaria sarà:

(n S²/σ² ) ~ χ²_n-1

Se:X è una v.c. t di Student e g → +∞

allora: X tende ad una v.c. Normale standardizzata (μ=0 e σ²=1)

Se: Z~N(0;1) e X~χ²_g,

allora: T=Z/√X/g è distribuita come una v.c. t di Student con g gradi di libertà.

Se: X è una v.c. t di Student con g=1

allora: si ottiene la v.c. di Cauchy.

variabile casuale F di Snedecor:

Se: il secondo grado di libertà è molto grande,

allora: la F di Snedecor tende verso una v.c. Gamma con a=p=g/2

Se: entrambi i gradi di libertà sono molto grandi,

allora: si può usare la Normale

Se: il primo grado di libertà è pari ad uno,

allora: si può usare la v.c. t di Student

Se:X_g1 e X_g2 sono v.c. Chi Quadrato con ripsettivamente g1 e g2 gradi di libertà

allora: Y = [X_g1/g1] / [X_g2/g2] è distribuita come una variabile casuale F di Snedecor con g1 e g2 gradi di liberta;

Se: in un processo markoviano (continuo nel tempo) nascite-morti, con le condizioni iniziali P_n(0)=1 per n=0, e =0 altrimenti, si osserva un processo di pure nascite con tasso costante λ

allora: si ottiene la soluzione P_n(t)=e^-λt (λt)^k/k!, ovvero una variabile casuale Poissoniana con parametro λt