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Variabile casuale poissoniana

La variabile casuale Poissoniana è una variabile casuale discreta, detta pure degli eventi rari.

Indice

1 Metodologia

2 Storia

3 Vedi anche:

4 Tavole dei valori della funzione di probabilità

Metodologia

La v.c. Poissoniana è definita con la funzione di probabilità

P(k) = e^-λ λ^k/k!

dove

k è un numero interno non negativo (k=0,1,2,3,....) e
λ è un qualsiasi valore positivo (λ>0)

La funzione generatrice dei momenti è pertanto:

g(t) = e^{λ(e^t-1)}

Il valore atteso e la varianza coincidono

μ = σ² = λ

La Poissoniana è detta pure legge degli eventi rari, in quanto può essere applicata al posto della variabile casuale Binomiale B(p;n) quando la probabilità p è molto bassa e contemporaneamente n è molto alta, ovvero quando un evento è raro, ma sono molti coloro che sono esposti al rischi. In tal caso λ = np.

Quando λ è molto grande (orientativamente λ > 10), allora la Poissoniana può essere approssimata con una variabile casuale Normale con valore atteso e varianza pari a λ: N( λ ; λ).

La v.c. Poissoniana viene usata in relazione alla v.c. Esponenziale Negativa in quanto:

se: l'intervallo di tempo che passa tra due successi è distribuito come una Esponenziale Negativa con a=λ
allora: il numero di successi entro un predeterminato intervallo di tempo è distribuito come una Poissoniana (con parametro λ);

e viceversa.

Storia

La Poissoniana porta il nome di Siméon-Denis Poisson in quanto questo la utilizzò nel 1837 (tre anni prima di morire) in una ricerca sulle statistiche giudiziarie, derivandola come distribuzione limite della distribuzione di Pascal ( P(x)=p(1-p)^x ) e della distribuzione binomiale.

In realtà la poissoniana come approssimazione della binomiale era già stata introdotta nel 1718 da Abraham de Moivre in Doctrine des chances.

Vedi anche:

Siméon-Denis Poisson e Abraham de Moivre
variabile casuale Normale
variabile casuale Binomiale
variabile casuale Esponenziale Negativa
variabile casuale Geometrica (o di Pascal)
variabile casuale Binomiale Negativa (anch'essa, come la Poissoniana, usata nel caso di eventi rari)
variabile casuale discreta
variabile casuale
probabilità
statistica

Tavole dei valori della funzione di probabilità

λ = 0.1, 0.2, ... 1.0

+=======+===============================================================+
|  k \ λ|    0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9   1.0  |
+=======+===============================================================+
|  0    |  .9048 .8187 .7408 .6703 .6065 .5488 .4966 .4493 .4066 .3679  |
|  1    |  .0905 .1637 .2222 .2681 .3033 .3293 .3476 .3595 .3659 .3679  |
|  2    |  .0045 .0164 .0333 .0536 .0758 .0988 .1217 .1438 .1647 .1839  |
|  3    |  .0002 .0011 .0033 .0072 .0126 .0198 .0284 .0383 .0494 .0613  |
|  4    |        .0001 .0003 .0007 .0016 .0030 .0050 .0077 .0111 .0153  |
|  5    |                    .0001 .0002 .0004 .0007 .0012 .0020 .0031  |
|  6    |                                      .0001 .0002 .0003 .0005  |
|  7    |                                                        .0001  |
+=======+===============================================================+

λ = 1.2, 1.4, ... 3.0

+=======+===============================================================+
|  k \ λ|    1.2   1.4   1.6   1.8   2.0   2.2   2.4   2.6   2.8   3.0  |
+=======+===============================================================+
|  0    |  .3012 .2466 .2019 .1653 .1353 .1108 .0907 .0743 .0608 .0498  |
|  1    |  .3614 .3452 .3230 .2975 .2707 .2438 .2177 .1931 .1703 .1494  |
|  2    |  .2169 .2417 .2584 .2678 .2707 .2681 .2613 .2510 .2384 .2240  |
|  3    |  .0867 .1128 .1378 .1607 .1804 .1966 .2090 .2176 .2225 .2240  |
|  4    |  .0260 .0395 .0551 .0723 .0902 .1082 .1254 .1414 .1557 .1680  |
|  5    |  .0062 .0111 .0176 .0260 .0361 .0476 .0602 .0735 .0872 .1008  |
|  6    |  .0012 .0026 .0047 .0078 .0120 .0174 .0241 .0319 .0407 .0504  |
|  7    |  .0002 .0005 .0011 .0020 .0034 .0055 .0083 .0118 .0163 .0216  |
|  8    |        .0001 .0002 .0005 .0009 .0015 .0025 .0038 .0057 .0081  |
|  9    |                    .0001 .0002 .0004 .0007 .0011 .0018 .0027  |
| 10    |                                .0001 .0002 .0003 .0005 .0008  |
| 11    |                                            .0001 .0001 .0002  |
| 12    |                                                        .0001  |
+=======+===============================================================+

λ = 3.5, 4.0, ... 8.0

+=======+===============================================================+
|  k \ λ|    3.5   4.0   4.5   5.0   5.5   6.0   6.5   7.0   7.5   8.0  |
+=======+===============================================================+
|  0    |  .0302 .0183 .0111 .0067 .0041 .0025 .0015 .0009 .0006 .0003  |
|  1    |  .1057 .0733 .0500 .0337 .0225 .0149 .0098 .0064 .0041 .0027  |
|  2    |  .1850 .1465 .1125 .0842 .0618 .0446 .0318 .0223 .0156 .0107  |
|  3    |  .2158 .1954 .1687 .1404 .1133 .0892 .0688 .0521 .0389 .0286  |
|  4    |  .1888 .1954 .1898 .1755 .1558 .1339 .1118 .0912 .0729 .0573  |
|  5    |  .1322 .1563 .1708 .1755 .1714 .1606 .1454 .1277 .1094 .0916  |
|  6    |  .0771 .1042 .1281 .1462 .1571 .1606 .1575 .1490 .1367 .1221  |
|  7    |  .0385 .0595 .0824 .1044 .1234 .1377 .1462 .1490 .1465 .1396  |
|  8    |  .0169 .0298 .0463 .0653 .0849 .1033 .1188 .1304 .1373 .1396  |
|  9    |  .0066 .0132 .0232 .0363 .0519 .0688 .0858 .1014 .1144 .1241  |
| 10    |  .0023 .0053 .0104 .0181 .0285 .0413 .0558 .0710 .0858 .0993  |
| 11    |  .0007 .0019 .0043 .0082 .0143 .0225 .0330 .0452 .0585 .0722  |
| 12    |  .0002 .0006 .0016 .0034 .0065 .0113 .0179 .0263 .0366 .0481  |
| 13    |  .0001 .0002 .0006 .0013 .0028 .0052 .0089 .0142 .0211 .0296  |
| 14    |        .0001 .0002 .0005 .0011 .0022 .0041 .0071 .0113 .0169  |
| 15    |              .0001 .0002 .0004 .0009 .0018 .0033 .0057 .0090  |
| 16    |                          .0001 .0003 .0007 .0014 .0026 .0045  |
| 17    |                                .0001 .0003 .0006 .0012 .0021  |
| 18    |                                      .0001 .0002 .0005 .0009  |
| 19    |                                            .0001 .0002 .0004  |
| 20    |                                                  .0001 .0002  |
| 21    |                                                        .0001  |
+=======+===============================================================+

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