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David Hilbert, nato il 23 gennaio 1862 a Königsberg, Prussia (l'odierna Kaliningrad, Russia) e morto il 14 febbraio 1943 a Göttingen, Germania, è stato uno dei più eminenti matematici a cavallo tra il XIX e il XX secolo.
Si diplomò al liceo della sua città natale, iscrivendosi all'Università di Königsberg. Ottenne il dottorato con Lindemann, nel 1885 con la tesi Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen (trad.: Sulle proprietà invarianti di speciali forme binarie, in particolare le funzioni circolari) . Nello stesso periodo era studente di dottorato nella stessa università anche Hermann Minkowski, a cui fu legato da profonda amicizia e un'altrettanto profonda influenza reciproca si ebbe nei loro lavori.
Hilbert rimase all'Università come docente dal 1886 al 1895, quando in seguito all'interessamento di Klein ottenne la cattedra di Matematica a Göttingen, dove restò fino alla fine della sua carriera.
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Il primo lavoro di Hilbert sulle funzioni invarianti lo portò a dimostrare nel 1888 il suo famoso teorema di finitezza. Vent'anni prima Gordan aveva dimostrato il teorema della finitezza dei generatori per le forme binarie usando un complesso approccio computazionale. I tentativi di generalizzare questo metodo per funzioni con più di due variabili fallirono, proprio a causa delle difficoltà di calcolo. Lo stesso Hilbert cercò all'inizio di seguire il sistema di Gordan, ma ben presto capì di dover intraprendere una strada del tutto diversa. Dimostrò così il Teorema di Finitezza di Hilbert: un metodo per dimostrare che esiste un insieme di generatori finito per un numero di variabili qualsiasi, ma in forma totalmente astratta: pur dimostrandone l'esistenza, non si fornisce un sistema per costruirlo.
Hilbert inviò il suo lavoro ai Mathematische Annalen. Gordan, l'esperto sulla teoria degli invarianti per i Mathematische Annalen, non riuscì ad apprezzare il rivoluzionario teorema di Hilbert e rifiutò l'articolo, criticandone l'esposizione, a suo dire poco esaustiva. Il suo commento fu:
Tuttavia Klein riconobbe l'importanza del lavoro di Hilbert, e gli garantì la pubblicazione, senza alcun cambiamento. Spronato da Klein e dai commenti di Gordan, Hilbert in un secondo articolo espanse il suo metodo, fornendo stime sul grado massimale dell'insieme minimo dei generatori, e lo inviò di nuovo agli Annalen. Dopo aver letto il manoscritto, Klein gli scrisse, dicendo:
Il lavoro Grundlagen der Geometrie (trad.: Fondamenti di Geometria) pubblicato da Hilbert nel 1899 sostituisce agli assiomi di Euclide un insieme formale, composto di 21 assiomi, che evita le contraddizioni derivanti da quello di Euclide. Indipendentemente e contemporaneamente, uno studente statunitense di 19 anni, Robert Moore pubblicò un insieme di assiomi equivalenti. È interessante notare che, sebbene alcuni assiomi siano gli stessi, qualche assioma di Moore è un teorema nel sistema di Hilbert, e viceversa.
Dopo aver risolto brillantemente i problemi della geometria, Hilbert si accinse a fare lo stesso con la matematica. Riconoscendo comunque l'impresa superiore alle sue sole forze, preparò una lezione dal titolo "I Problemi della Matematica" per il Secondo Congresso Internazionale di Matematica.
Eccone l'introduzione:
Il discorso venne pronunciato a Parigi durante il Congresso, dove Hilbert introdusse i suoi famosi 23 problemi: anche se alcuni vennero risolti in breve termine, altri sono stati e continuano ad essere una sfida per i matematici.
Con questa iniziativa, Hilbert diede il via alla scuola formalista, una delle tre scuole della matematica del 1900. Secondo il formalismo la matematica è un gioco privo di significato in cui si gioca con contrassegni privi di significato secondo regole formali concordate in partenza. Essa è quindi un'attività autonoma del pensiero. (Cfr: Hermann Hesse - Il giuoco delle perle di vetro).
Nonostante le buone intenzioni, il suo tentativo di assiomatizzazione della matematica era destinato a fallire: nel 1931 Gödel dimostrò come un sistema formale che non fosse contraddittorio non potesse dimostrare la sua completezza. Tuttavia nulla si dice riguardo la dimostrazione da parte di un differente sistema formale sulla completezza della matematica.
Tra i suoi studenti vi furono Hermann Weyl, il campione di scacchi Lasker e Ernst Zermelo. John Von Neumann fu suo assistente.
Sulla sua lapide, a Göttingen, si legge il seguente epitaffio:
Circa nel 1909, Hilbert si dedicò allo studio delle equazioni differenziali ed integrali: i suoi lavori portarono direttamente allo sviluppo della moderna analisi funzionale. Per questi suoi studi, Hilbert introdusse il concetto di spazio a infinite dimensioni, chiamato in seguito Spazio di Hilbert. Oltre ad essere di grande utilità nello studio della della meccanica quantistica, gli permise di contribuire allo sviluppo della teoria cinetica dei gas e alla teoria della radiazione. In seguito, Stefan Banach ampliò il concetto, definendo gli spazi di Banach, fondamento dell'assiomatizzazione della teoria delle funzioni integrali.
Un'opinione diffusa tra i matematici è che Hilbert scoprì le equazioni di campo per la teoria della relatività generale prima di Albert Einstein, ma che non rivendicò mai la scoperta. Un interessante articolo (L. Corry, J. Renn, J. Stachel, Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute, Science 278 del 14 Novembre 1997) mostra come Hilbert inviò il suo articolo il 20 novembre 1915, cinque giorni prima di quello di Einstein con le equazioni corrette. L'articolo di Hilbert uscì il 6 dicembre senza le equazioni, quello di Einstein il 2. Tuttavia, nella versione andata alle stampe, Hilbert aggiunse:
Appare dunque evidente che Hilbert lesse l'articolo di Einstein, e aggiunse al suo il riconoscimento della priorità di Einstein.
