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Algebra di Lie

In matematica, una algebra di Lie (prende il nome da Sophus Lie) è una struttura algebrica usata principalmente per lo studio di oggetti geometrici come i gruppi di Lie e le varietà differenziabili.

Definizione

Un'algebra di Lie è uno spazio vettoriale g su un certo campo F (generalmente i numeri reali o i numeri complessi) insieme ad un operatore binario [·, ·] : g × g -> g, detto prodotto di Lie, che soddisfa le seguenti proprietà:

• è bilineare, cioè [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z] e [z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y] per tutti gli a, b in F e tutti gli x, y, z in g.
• Soddisfa l'identità di Jacobi, cioè [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 per tutti gli x, y, z in g.
• [x, x] = 0 per tutti gli x in g.

Notare che la prima e la terza proprietà insieme implicano [x, y] = − [y, x] per tutti gli x, y in g (antisimmetria): viceversa l'antisimmetria implica la proprietà 3 di cui sopra se F non ha caratteristica 2. Notare anche che in generale il prodotto di Lie non è associativo, cioè [[x, y], z] non è necessariamente uguale a [x, [y, z]].

Esempi

• Ogni spazio vettoriale diventa banalmente un'algebra di Lie abeliana se definiamo un prodotto di Lie identicamente nullo.

• Lo spazio euclideo R³ diventa un'algebra di Lie prendendo come prodotto di Lie il prodotto esterno (prodotto vettoriale) fra vettori.

• Data un'algebra associativa A con moltiplicazione *, questa può venire trasformata in un'algebra di Lie definendo [x, y] = x * y − y * x.

Questa espressione è detta il commutatore di x e y. Viceversa si può dimostrare che ogni algebra di Lie può essere inglobata in questo modo in un'altra, ricavata in questo modo da un'algebra associativa.

• Altri esempi importanti di algebre di Lie vengono dalla topologia differenziale: i campi vettoriali di una varietà differenziabile formano un'algebra di Lie a infinite dimensioni; per due campi vettoriali X e Y il prodotto di Lie [X, Y] è definito da : [X, Y] f = (XY − YX) f per ogni funzione f sulla varietà

(qui noi consideriamo i campi vettoriali che trasformano funzioni su una varietà in altre funzioni). Questa è l'algebra di Lie del gruppo di Lie ad infinite dimensioni dei diffeomorfismi della varietà.

• Lo spazio vettoriale dei campi vettoriali sinistra-invarianti su un gruppo di Lie è chiuso sotto questa operazione e perciò è un'algebra di Lie a dimensione finita. In alternativa si può pensare lo spazio vettoriale sotto l'algebra di Lie che appartiene al gruppo di Lie come lo spazio tangente all'elemento identità del gruppo. La moltiplicazione è il differenziale del gruppo commutatore (a,b) |-> aba⁻¹b⁻¹ all'elemento identità.

• Come esempio concreto consideriamo il gruppo di Lie SL(n,R) di tutte le matrici quadrate nxn con elementi reali e determinante 1. Lo spazio tangente alla matrice identità si può individuare nello spazio di tutte le matrici nxn con traccia zero, e la struttura dell'algebra di Lie derivante dal gruppo di Lie coincide con quella che sorge dai commutatori della moltiplicazione matriciale.

Per ulteriori esempi sui gruppi di Lie e le algebre di Lie associate, vedi l'articolo sul gruppo di Lie.

Omomorfismi, Subalgebre e Ideali

Un omomorfismo φ : g -> h fra due algebre di Lie g ed h sullo stesso campo base F è una mappa F-lineare tale che [φ(x), φ(y)] = φ([x, y]) per tutti gli x e y in g. La composizione di tali omomorfismi è ancora un omomorfismo, e le algebre di Lie sul campo F, insieme con questi morfismi formano una categoria. Se un tale omomorfismo è biettivo viene chiamato isomorfismo, e le due algebre di Lie g e h sono dette isomorfiche. Per tutti gli scopi pratici, due algebre di Lie isomorfiche sono identiche.

Una subalgebra del'algebra di Lie g è un sottospazio lineare h di g tale che [x, y] ∈ h per tutti gli x, y ∈ h: la subalgebra è quindi essa stessa un'algebra di Lie.

L'ideale dell'algebra di Lie g è un sottospazio h di g tale che [a, y] ∈ h per tutti gli a ∈ g e y ∈ h. Tutti gli ideali sono subalgebre. Se h è un ideale di g allora lo spazio quoziente g/h diventa un'algebra di Lie definendo [x + h, y + h] = [x, y] + h per tutti gli x, y ∈ g. Gli ideali sono precisamente i kernel degli omomorfismi, e il teorema fondamentale degli omomorfismi vale anche per le algebre di Lie.

Classificazione delle algebre di Lie

Le algebre di Lie si possono classificare, almeno in una certa misura, e questo è un passo importante verso la classificazione dei gruppi di Lie. Ogni algebra di Lie reale o complessa a dimensioni finite nasce come algebra di Lie di un gruppo di Lie reale o complesso semplicemente connesso (teorema di Ado), ma possono esistere più gruppi di Lie, anche non semplicemente connessi, che danno origine alla stessa algebra. Per esempio i gruppi SO(3) (matrici ortogonali 3×3 con determinante 1) e SU(2) (matrici unità 2×2 con determinante 1) danno entrambi origine alla stessa algebra di Lie, precisamente la R³ con prodotto esterno.

Un'algebra di Lie è abeliana se il prodotto di Lie è identicamente nullo per tutti gli x e y; più in generale un'algebra di Lie g è nilpotente se la serie centrale inferiore: g > [g, g] > [[g, g], g] > [[[g, g], g], g] > ... è zero da un certo punto in poi. Per il teorema di Engel un'algebra di Lie è nilpotente se e solo se per ogni u in g la mappa

ad(u): g → g

definita da

ad(u)(v) = [u,v]

è nilpotente. Ancora più in generale, un'algebra di Lie g è detta solvibile se le serie derivate: g > [g, g] > [[g, g], [g,g]] > [[[g, g], [g,g]],[[g, g], [g,g]]] > ... sono zero da un certo punto in poi. Una subalgebra massimamente solvibile è chiamata subalgebra di Borel.

Un'algebra di Lie g è detta semisemplice se l'unico ideale solvibile di g è banale. Equivalentemente, g è semisemplice se e solo se la forma K(u,v) = tr(ad(u)ad(v)), detta killing form, è non degenere: qui, tr denota l'operatore traccia.

Quando il campo F ha caratteristica zero, g è semisemplice se e solo se ogni sua rappresentazione è completamente riducibile, cioè se e solo se per ogni sottospazio invariante della rappresentazione c'è un complemento invariante (teorema di Weyl).

Un'algebra di Lie è semplice se tutti i suoi ideali sono non banali: in generale un'algebra di Lie semplice è semisemplice, e più in generale, le algebre di Lie semplici sono le somme dirette di quelle semplici.

Le algebre di Lie complesse semisemplici sono classificate attraverso i loro sistemi radice.

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